Produktion – VWL Zusammenfassung STEOP WU

Auf einen Blick

Kurze Frist: mindestens ein Input ist fix. Lange Frist: alle Inputs sind variabel. Beides sagt etwas über Anpassbarkeit, nicht über Kalenderzeit.
Technisch effizient heißt maximaler Output aus gegebenen Inputs; ökonomisch effizient heißt zusätzlich minimale Kosten bei gegebenen Faktorpreisen.
$M P_{L}$ ist der Zusatzoutput der letzten Arbeitskraft, $A P_{L} = Q / L$ der Durchschnitt. Liegt MP über AP, steigt AP; im AP-Maximum gilt $M P_{L} = A P_{L}$ .
Abnehmender Grenzertrag gilt nur kurzfristig, wenn ein Input fix ist. Das Q-Maximum liegt dort, wo $M P_{L} = 0$ gilt.
Isoquante: alle Input-Kombinationen mit gleichem Output. Sie ist fallend und konvex, weil die GRTS entlang der Kurve abnimmt.
$GRTS = M P_{L} / M P_{K}$ . Vollkommene Substitute: Gerade, konstante GRTS. Leontief: L-förmig, keine Substitution.
Skalenerträge: alle Inputs steigen gemeinsam. Bei Cobb-Douglas entscheidet die Exponentensumme $α + β$ (über 1 steigend, 1 konstant, unter 1 sinkend).
Abnehmender Grenzertrag (ein Input, kurzfristig) ist nicht abnehmende Skalenerträge (alle Inputs, langfristig). Beides kann gleichzeitig vorkommen.

Inhalt8 Abschnitte

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1 Produktionsfunktion, Fristen und Effizienz ★★

Bevor ein Unternehmen über Kosten oder Gewinn nachdenken kann, muss klar sein, was es technisch überhaupt herstellen kann. Genau das beschreibt die Produktionsfunktion. Dieses Kapitel ist das Fundament für alle folgenden Kapitel (Kosten, Gewinnmaximierung).

Produktionsfunktion

Produktion: Umwandlung von Ressourcen (Inputs, Produktionsfaktoren) in Güter (Output).

FormelProduktionsfunktion

Q = F (K, L)

In Worten: Der Output Q hängt davon ab, wie viel Kapital K und Arbeit L eingesetzt werden. F steht für die Technologie: Sie sagt, wie viel man aus den Inputs höchstens herausholt.

Q

= Output (Menge)

K

= Kapital (Maschinen, Gebäude)

L

= Arbeit (z. B. Stunden)

F

= Technologie

Beispiel ansehen

Eine Fahrradwerkstatt hat 2 Werkbänke (K = 2) und 3 Mechaniker:innen (L = 3) und schafft damit höchstens 12 Reparaturen pro Tag: $F (2, 3) = 12$ .

Mit K = 4 und L = 6 sind vielleicht $F (4, 6) = 26$ möglich.

Maximal ist wichtig: Die Funktion zeigt immer den höchsten erreichbaren Output für die gegebenen Inputs. Es wird also nichts verschwendet.

VertiefungWas zu Kapital und Arbeit zählt und wie Technologie wirkt

Kapital sind alle langlebigen Produktionsmittel: Maschinen, Gebäude, Werkzeuge, Fahrzeuge. Gemessen wird oft in Maschinenstunden. Arbeit wird in Arbeitsstunden oder Beschäftigten gemessen. Manchmal kommen weitere Inputs dazu (Rohstoffe, Energie, Boden), im Grundmodell reichen zwei.

Technologie als „Rezept": Die Funktion $F$ bestimmt, wie viel aus den Inputs entsteht. Verbessert sich die Technologie, kommt aus denselben Inputs mehr Output heraus.

Rechenbeispiel Fortschritt in einer einfachen Funktion

Eine Bäckerei produziert $Q = A \cdot \sqrt{K \cdot L}$ . Mit $K = 4$ , $L = 9$ und $A = 1$ ist $Q = \sqrt{36} = 6$ .

Eine neue Teigmaschine hebt $A$ auf 1,5: $Q = 1,5 \cdot 6 = 9$ .

Ergebnis: Bei gleichem $K$ und $L$ gibt es 50 % mehr Output, die Technologie ist besser. Das entspricht einer Verschiebung der Produktionsmöglichkeitenkurve nach außen und, aus Sicht des Marktes, einer Verschiebung der Angebotskurve nach rechts.

Wichtig: Eine Änderung von $K$ oder $L$ bewegt dich entlang der Produktionsfunktion. Eine Änderung der Technologie verändert die Funktion selbst.

Kurze und lange Frist

Die Fristen sind keine Kalenderzeit, sondern eine Aussage darüber, was das Unternehmen anpassen kann.

Kurze Frist: Zumindest ein Input steht fest, meist das Kapital. Verändern lässt sich nur der Rest (meist die Arbeit).

Lange Frist: Alle Inputs sind variabel, auch Gebäude und Maschinen.

Wie lang die lange Frist in Jahren ist, hängt von der Branche ab: bei einem Kraftwerk sind es Jahrzehnte, bei einem Marktstand ein paar Tage.

Prüfungsfalle: „Die kurze Frist dauert höchstens ein Jahr" ist falsch. Es gibt keine feste Zeitspanne, entscheidend ist nur, ob alle Inputs angepasst werden können.

Fixe, quasi-fixe und variable Inputs

Fixer Input: lässt sich kurzfristig nicht ändern (z. B. die Fabrikhalle).

Variabler Input: lässt sich kurzfristig ändern (z. B. Arbeitsstunden, Rohstoffe).

Quasi-fixer Input: wird nur gebraucht, sobald überhaupt produziert wird, aber nicht in einer vom Output abhängigen Menge (z. B. Grundbeleuchtung, Mindestbesetzung).

Dieselbe Unterscheidung gibt es später bei den Kosten (Kapitel zu Kosten).

Technische und ökonomische Effizienz

Technische Effizienz: maximaler Output bei gegebenen Inputs. Das steckt schon in der Produktionsfunktion.

Ökonomische Effizienz: minimale Kosten für einen gegebenen Output. Dafür braucht man zusätzlich die Faktorpreise.

Einfach erklärt: Technisch effizient heißt: aus den Zutaten so viel Kuchen wie möglich. Ökonomisch effizient heißt: den Kuchen mit den billigsten Zutaten-Mengen backen. Ein technisch effizienter Kuchen kann trotzdem unnötig teuer sein.

Prüfungsfalle: Technisch effizient ist nicht automatisch ökonomisch effizient. Mehrere Input-Kombinationen können technisch effizient sein, aber nur eine davon ist die billigste.

VertiefungTechnisch effizient, aber nicht kostengünstig: ein Zahlenbeispiel

Eine Tischlerei kann 10 Tische mit zwei Input-Kombinationen herstellen: mit 8 Arbeitsstunden und 2 Maschinenstunden oder mit 2 Arbeitsstunden und 6 Maschinenstunden. Beide sind technisch effizient (keine verschwendet etwas).

Rechenbeispiel Welche ist die billigste?

Eine Arbeitsstunde kostet 30 €, eine Maschinenstunde 10 €.

1Kombination A:

8 \cdot 30 + 2 \cdot 10 = 260

€

2Kombination B:

2 \cdot 30 + 6 \cdot 10 = 120

€

Ergebnis: B ist ökonomisch effizient. Sind die Löhne höher als die Maschinenkosten, lohnt sich mehr Kapital. Steigt der Preis der Maschinenstunde stark, kann sich das Bild umdrehen. Welche Kombination die beste ist, hängt also von den Faktorpreisen ab.

Ineffizient im technischen Sinn wäre eine dritte Kombination mit 8 Arbeits- und 6 Maschinenstunden für dieselben 10 Tische: Sie nutzt mehr Inputs als nötig, ohne mehr Output.

2 Ein variabler Input: Produktbegriffe und Ertragsgesetz ★★★

Hier ist Kapital fix und nur die Arbeit wird verändert. Das ist die kurze Frist. Aufgaben drehen sich fast immer um den Zusammenhang von Grenz- und Durchschnittsprodukt.

Oben Gesamtprodukt, unten Grenzprodukt (Blau) und Durchschnittsprodukt (Schwarz). Das Grenzprodukt schneidet das Durchschnittsprodukt in dessen Maximum.

Die drei Produktbegriffe

Gesamtprodukt: der gesamte Output Q bei gegebenem Kapital und variabler Arbeit L.

FormelDurchschnittsprodukt der Arbeit

A P_{L} = \frac{Q}{L}

In Worten: Wie viel Output schafft eine Arbeitskraft im Durchschnitt? Ein Produktivitätsmaß.

A P_{L}

= Durchschnittsprodukt der Arbeit

Q

= Gesamtprodukt

L

= Arbeitseinsatz

Beispiel ansehen

Ein Café-Team aus 5 Personen verkauft pro Tag 150 Torten-Stücke.

$A P_{L} = 150 / 5 =$ 30 Stück pro Person

FormelGrenzprodukt der Arbeit

M P_{L} = \frac{Δ Q}{Δ L} = \frac{\partial F (K, L)}{\partial L}

In Worten: Wie viel zusätzlicher Output kommt durch die letzte zusätzliche Arbeitskraft dazu? Bei kleinen Schritten ist das die Ableitung nach L.

Δ

= „Änderung von“

\partial

= partielle Ableitung (nur L ändert sich, K bleibt gleich)

Beispiel ansehen

Mit 5 Personen: 150 Stück, mit 6 Personen: 174 Stück.

$M P_{L} = (174 - 150) / (6 - 5) =$ 24 Stück durch die sechste Person

Prüfungsfalle: Grenzprodukt (die letzte Person) und Durchschnittsprodukt (alle Personen im Schnitt) nicht verwechseln. Beide haben dieselbe Einheit, sagen aber etwas völlig anderes.

Das Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag

Abnehmender Grenzertrag: Wird bei gegebenem Kapital immer mehr Arbeit eingesetzt, sinkt das Grenzprodukt der Arbeit ab einem bestimmten Arbeitseinsatz.

Der Grund ist nicht, dass die Leute schlechter werden. Sie teilen sich einen fixen Kapitalstock, und jede weitere Person hat weniger Maschinenzeit und weniger Platz.

Einfach erklärt: Eine Küche mit einem Herd. Die zweite und dritte Köchin helfen sehr. Bei der zehnten stehen alle im Weg, und der Zusatznutzen schrumpft.

Das Gesetz gilt nur, solange mindestens ein Input fix ist, also kurzfristig. Es hat nichts mit Skalenerträgen zu tun (siehe Abschnitt 6).

Die drei Phasen der Grenzproduktivität

Phase	Grenzprodukt	Gesamtprodukt
Anfang	steigt (Spezialisierung)	steigt immer schneller
Mitte	fällt, bleibt positiv	steigt, aber langsamer
Ende	wird negativ	fällt

Das Gesamtprodukt ist am höchsten, wo

M P_{L} = 0

gilt.

Danach schadet jede weitere Person. Kein Unternehmen bleibt im Bereich mit negativem Grenzprodukt, denn es müsste auch noch dafür zahlen.

VertiefungWarum es die Anfangsphase gibt und wie weit die Firma geht

Anfangsphase: Mit einer einzigen Person muss alles allein gemacht werden: kochen, bedienen, kassieren. Kommt eine zweite dazu, teilt man die Aufgaben, jede wird besser, und der Zusatzoutput steigt. Erst wenn sich die Arbeitsteilung ausgeschöpft hat und der fixe Kapitalstock knapp wird, beginnt das Grenzprodukt zu fallen.

Nicht jede Funktion hat die Anfangsphase: Bei einfachen Modellen (z. B. $Q = 10 L - 0,5 L^{2}$ ) fällt das MP von Anfang an. Das Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag gilt trotzdem ab dem Punkt, an dem es fällt.

Warum eine Firma nie im negativen Bereich arbeitet: Eine zusätzliche Person bringt dort weniger Output und verursacht mehr Kosten. Es lohnt sich auch nicht, bis $M P_{L} = 0$ zu gehen, wenn Beschäftigte Lohn kosten.

Rechenbeispiel Wie viele Beschäftigte stellt die Pizzeria ein?

Zusätzliche Beschäftigte lohnen sich, solange ihr Beitrag zum Erlös mindestens ihren Lohn deckt: $P \cdot M P_{L} \geq w$ . Eine Pizza kostet 5 €, eine beschäftigte Person 40 € pro Tag. Die Grenzprodukte aus der Pizzeria-Tabelle (siehe weiter unten) sind 8, 14, 20, 18, 10, 2 und −6.

1Erforderlich:

M P_{L} \geq 40 / 5 = 8

2Das erfüllen die ersten fünf Personen (8, 14, 20, 18, 10).

3Die sechste bringt nur 2 Pizzen (10 € Erlös) für 40 € Lohn und lohnt sich nicht.

Ergebnis: Die Pizzeria stellt 5 Personen ein, obwohl das Gesamtprodukt bei 6 Personen noch etwas größer wäre. Die genaue Entscheidungsregel folgt im Kapitel zur Gewinnmaximierung.

3 Zusammenhang von MP und AP, Rechnen mit Tabellen und Funktionen ★★★

Das Grenzprodukt zieht den Durchschnitt hoch oder runter. Diese Regel steckt hinter einer der häufigsten Aufgaben.

Zusammenhang von MP und AP

M P_{L} > A P_{L}

→ das Durchschnittsprodukt steigt

M P_{L} < A P_{L}

→ das Durchschnittsprodukt fällt

M P_{L} = A P_{L}

→ das Durchschnittsprodukt ist im Maximum

Die MP-Kurve schneidet die AP-Kurve also genau im AP-Maximum. Das gilt auch dann, wenn das MP schon fällt: Solange es über dem Durchschnitt liegt, zieht es den Durchschnitt noch nach oben.

Einfach erklärt: Wie bei einem Notenschnitt. Eine neue Note besser als der Schnitt hebt ihn, eine schlechtere senkt ihn. Die neue Note ist das Grenzprodukt, der Schnitt das Durchschnittsprodukt.

FormelWarum MP = AP im AP-Maximum

\frac{d A P_{L}}{d L} = \frac{M P_{L} - A P_{L}}{L}

In Worten: Der Durchschnitt steigt, wenn das Grenzprodukt über ihm liegt, und fällt, wenn es darunter liegt. Genau im Höchstpunkt ist die Änderung null, also sind beide gleich.

d A P_{L} / d L

= Steigung der Durchschnittsprodukt-Kurve

Beispiel ansehen

Aus $A P_{L} = Q / L$ folgt mit der Quotientenregel $d A P_{L} / d L = (M P_{L} \cdot L - Q) / L^{2} = (M P_{L} - A P_{L}) / L$ .

Null wird das genau bei $M P_{L} = A P_{L}$ .

Grafisch lesen

M P_{L}

ist die Steigung der Gesamtproduktkurve.

A P_{L}

ist die Steigung der Geraden, die du vom Ursprung zu einem Punkt der Kurve ziehst.

Im AP-Maximum berührt dieser Strahl die Gesamtproduktkurve gerade noch (Tangente).

VertiefungLesehilfen für die Grafik in Worten

Was passiert auf der Grafik, wenn du auf der Gesamtproduktkurve nach rechts wanderst?

Zu Beginn: Die Kurve wird immer steiler, das MP steigt. Der Strahl vom Ursprung wird ebenfalls steiler (AP steigt).

Am Wendepunkt der Kurve (Übergang von „immer steiler" zu „immer flacher") ist die Steigung am größten: Dort liegt das MP-Maximum.

Danach: Die Kurve verläuft flacher als der Strahl vom Ursprung, das MP liegt unter dem AP. Der Strahl wird flacher, das AP fällt.

Am Gipfel der Kurve: Die Steigung ist null, also

M P = 0

. Das ist das Maximum von $Q$ .

Dahinter: Die Kurve fällt, das MP ist negativ.

Die Reihenfolge der Punkte ist immer gleich: erst das Maximum von MP, dann das von AP, dann das von Q. Die MP-Kurve fällt also schon, wenn das AP noch steigt.

Schnell kontrollieren: Wenn in einer Tabelle das MP zum ersten Mal unter dem AP liegt, ist das AP-Maximum gerade überschritten, der größte AP-Wert steht eine Zeile davor.

Rechenbeispiel mit Tabelle

Rechenbeispiel Pizzeria mit einem Ofen

L → Q	AP = Q/L	MP = ΔQ
1 → 8	8	8
2 → 22	11	14
3 → 42	14	20
4 → 60	15	18
5 → 70	14	10
6 → 72	12	2
7 → 66	9,4	−6

Ablesen:

Das MP ist bei L = 3 am größten (20). Ab der 4. Person gilt der abnehmende Grenzertrag.

Bei L = 4 liegt das MP (18) noch über dem AP von davor (14). Das AP steigt auf 15.

Bei L = 5 liegt das MP (10) unter dem AP (15). Das AP fällt. Das AP-Maximum ist also bei L = 4.

Bei L = 7 ist das MP negativ (−6). Die 7. Person senkt den Output.

Rechenbeispiel Mit einer Funktion rechnen: Q = 12L² − L³

Der Kapitalstock ist fix und in der Funktion schon eingebaut.

A P_{L} = Q / L = 12 L - L^{2}

M P_{L} = d Q / d L = 24 L - 3 L^{2}

AP-Maximum: $M P_{L} = A P_{L}$ → $24 L - 3 L^{2} = 12 L - L^{2}$ → $12 L = 2 L^{2}$ → L = 6. Dort ist $A P_{L} = 36 = M P_{L}$ .

Größtes MP: Ableitung von MP null setzen: $24 - 6 L = 0$ → L = 4 (MP = 48).

Größtes Q: $M P_{L} = 0$ → $24 L = 3 L^{2}$ → L = 8 (Q = 256).

Reihenfolge der Punkte: MP-Maximum (L = 4), AP-Maximum (L = 6), Q-Maximum (L = 8).

VertiefungDie Funktion Q = 12L² − L³ als Zahlentabelle

So sieht man die Regeln direkt an den Werten:

L	AP	MP
2	20	36
4	32	48
5	35	45
6	36	36
7	35	21
8	32	0

Lesen:

Bis L = 4 steigt das MP (36 → 48), danach fällt es.

Bei L = 5 liegt das MP (45) über dem AP (35): Das AP steigt noch auf 36.

Bei L = 6 sind beide gleich (36), das AP ist am höchsten.

Bei L = 7 liegt das MP (21) unter dem AP (35): Das AP fällt. Bei L = 8 ist das MP null, dort ist

Q

mit 256 am größten.

Sonderfall ohne Anfangsphase: Bei $Q = 10 L - 0,5 L^{2}$ ist $A P_{L} = 10 - 0,5 L$ und $M P_{L} = 10 - L$ . Das MP liegt immer unter dem AP, das AP fällt von Anfang an. Das Gesamtprodukt ist bei $M P_{L} = 0$ , also $L = 10$ , am größten ( $Q = 50$ ).

Was passiert bei mehr Kapital?

Ein größerer fixer Kapitalstock ( $K_{2} > K_{1}$ ) verschiebt die Gesamtproduktkurve nach oben. Meist steigt auch das Grenzprodukt der Arbeit: Mit besseren Maschinen ist jede zusätzliche Arbeitsstunde produktiver.

Prüfungsfalle: „Mehr Kapital senkt das Grenzprodukt der Arbeit" ist in der Regel falsch. Mehr Kapital hebt die Produktivität der Arbeit ( $\partial M P_{L} / \partial K > 0$ ). Ausnahmen sind möglich, aber nicht der Normalfall.

VertiefungMehr Kapital in Zahlen

Eine Bäckerei produziert $Q = K^{0,5} \cdot L^{0,5}$ . Das Grenzprodukt der Arbeit ist $M P_{L} = 0,5 \cdot \sqrt{K / L}$ .

Rechenbeispiel Ein zweiter Ofen

1Mit

K = 4

und

L = 4

M P_{L} = 0,5 \cdot \sqrt{1} = 0,5

2Mit

K = 16

und

L = 4

M P_{L} = 0,5 \cdot \sqrt{4} = 1

Ergebnis: Bei viermal so viel Kapital verdoppelt sich das Grenzprodukt der Arbeit. Jede zusätzliche Person arbeitet an besseren Maschinen. Die ganze Gesamtproduktkurve liegt höher.

Lesehilfe: Was passiert auf der Grafik? Die Kurve für $Q$ bei $K_{2}$ liegt über der bei $K_{1}$ , und sie ist bei jedem $L$ steiler. Bei gleicher Arbeitsmenge hat die Firma jetzt mehr Output.

Wichtig für die Abgrenzung: Mehr Kapital bei gleichem $L$ ändert nicht das Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag. Es verschiebt nur die Kurven. Auch mit dem größeren Kapitalstock fällt das MP irgendwann, nur später.

4 Zwei variable Inputs: Isoquanten und GRTS ★★★

Langfristig sind Kapital und Arbeit variabel. Dann stellt sich die Frage, wie sich die beiden gegeneinander ersetzen lassen. Das ist der Ausgangspunkt der Kostenminimierung (Kapitel zu Kosten).

Isoquanten

Isoquante: Alle Kombinationen von K und L, die genau denselben Output liefern. Das Gegenstück zur Indifferenzkurve, nur mit Output statt Nutzen.

Eigenschaften der Isoquanten (bei „normaler" Technologie):

Weiter vom Ursprung entfernt = mehr Output.

Sie fallen von links oben nach rechts unten: Wer weniger Kapital hat, braucht mehr Arbeit.

Sie schneiden einander nicht.

Sie sind konvex zum Ursprung (nach innen gewölbt).

VertiefungEine Isoquante berechnen und die Eigenschaften begründen

Aus der Funktion zur Isoquante: Für $Q = \sqrt{K \cdot L}$ und einen festen Output $Q = 4$ gilt $K \cdot L = 16$ , also $K = 16 / L$ .

L	K
1	16
2	8
4	4
8	2
16	1

Alle diese Punkte liefern 4 Stück. Verbindest du sie, erhältst du eine fallende, nach innen gewölbte Kurve.

Warum sie sich nicht schneiden: Angenommen, zwei Isoquanten (für 4 und für 6 Stück) schnitten einander in einem Punkt. Dann würde dieselbe Input-Kombination gleichzeitig 4 und 6 Stück liefern. Das widerspricht der Funktion, die jeder Kombination genau einen Output zuordnet.

Warum sie fallen: Wer weniger Kapital einsetzt, verliert Output. Um ihn auszugleichen, braucht es mehr Arbeit. Eine steigende Isoquante hieße, mehr von beiden Inputs bringe denselben Output, also wäre Verschwendung eingebaut.

Lesehilfe: Was passiert auf der Grafik, wenn der Output steigt? Du gehst zu einer Isoquante weiter außen. Bei gleichem $L$ brauchst du dafür mehr $K$ . Die Isoquanten für $Q = 4$ , $Q = 6$ , $Q = 8$ liegen wie Zwiebelschalen ineinander.

Grenzrate der technischen Substitution (GRTS)

GRTS (MRTS): Wie viel Kapital man einsparen kann, wenn man eine Einheit Arbeit mehr einsetzt, ohne dass der Output sinkt. Es ist der Betrag der Isoquantensteigung.

FormelGrenzrate der technischen Substitution

MRTS = - \frac{d K}{d L} = \frac{M P_{L}}{M P_{K}}

In Worten: Wie viele Einheiten Kapital kann man einsparen, wenn man eine Einheit Arbeit mehr einsetzt und trotzdem gleich viel produziert? Das Verhältnis der Grenzprodukte gibt die Antwort.

M P_{L}

= Grenzprodukt der Arbeit

M P_{K}

= Grenzprodukt des Kapitals

Beispiel ansehen

Eine zusätzliche Arbeitsstunde bringt 8 Stück ( $M P_{L} = 8$ ), eine zusätzliche Maschinenstunde 2 Stück ( $M P_{K} = 2$ ).

$MRTS = 8 / 2 =$ 4

Eine Stunde Arbeit mehr ersetzt 4 Maschinenstunden, ohne dass der Output sinkt.

Herleitung in zwei Zeilen: Entlang einer Isoquante bleibt der Output gleich. Gibt man $Δ K$ auf und nimmt $Δ L$ dazu, gilt $M P_{K} \cdot Δ K + M P_{L} \cdot Δ L = 0$ . Umgeformt ergibt das $- Δ K / Δ L = M P_{L} / M P_{K}$ .

Abnehmende GRTS und Konvexität

Entlang der Isoquante von links oben nach rechts unten nimmt die GRTS ab. Je mehr Arbeit und je weniger Kapital man schon einsetzt, desto weniger Kapital ersetzt die nächste Arbeitseinheit.

Das liegt am abnehmenden Grenzertrag: Das $M P_{L}$ sinkt, das $M P_{K}$ steigt (Kapital wird knapp). Deshalb sind die Isoquanten konvex zum Ursprung.

Rechenbeispiel Cobb-Douglas: Q = √(K·L)

Hier gilt $Q = K^{0, 5} \cdot L^{0, 5}$ und die GRTS ist $MRTS = K / L$ .

Punkt A: K = 8, L = 2 → Q = √16 = 4, GRTS = 8/2 = 4

Punkt B: K = 4, L = 4 → Q = √16 = 4, GRTS = 4/4 = 1

Beide Punkte liegen auf derselben Isoquante (Q = 4). Von A nach B sinkt die GRTS von 4 auf 1: Die Isoquante wird flacher, sie ist konvex.

VertiefungDie GRTS in der Grafik lesen und was sie später bedeutet

Punkt gegen Strecke: Die GRTS in einem Punkt ist die Steigung der Tangente dort. Zwischen zwei Punkten, z. B. von A (L = 2, K = 8) nach B (L = 4, K = 4), kannst du auch die durchschnittliche Steigung berechnen: $- Δ K / Δ L = 4 / 2 = 2$ . Dieser Wert liegt zwischen den Tangentensteigungen 4 (bei A) und 1 (bei B).

Lesehilfe: Was passiert auf der Grafik beim Wandern nach rechts? Du setzt mehr Arbeit und weniger Kapital ein. Die Isoquante wird flacher: Die nächste Arbeitseinheit ersetzt weniger Kapital. Das ist der Grund, warum eine Mischung aus beiden Inputs sinnvoll ist und nicht die Randlösung nur Arbeit oder nur Kapital.

Ausblick: Eine Firma, die Kosten minimieren will, vergleicht die GRTS mit dem Verhältnis der Faktorpreise $w / r$ (Lohn zu Kapitalkosten). Solange die GRTS größer ist als $w / r$ , ersetzt eine Arbeitseinheit mehr Kapital, als sie kostet: Es lohnt sich, Kapital durch Arbeit zu ersetzen. Im Optimum sind beide gleich. Die genaue Herleitung kommt im Kapitel zu den Kosten.

5 Drei Standardtechnologien ★★★

Je nachdem, wie gut sich die Inputs ersetzen lassen, gibt es drei Grundtypen. Sie unterscheiden sich in Form und GRTS der Isoquanten.

Technologie	Isoquante	GRTS
Vollkommene Substitute	Gerade	konstant
Cobb-Douglas	stetig gekrümmt	fällt entlang der Kurve
Fixe Proportionen (Leontief)	L-förmig (rechtwinklig)	nicht definiert, keine Substitution

Vollkommene Substitute: Die Inputs sind im festen Verhältnis austauschbar, z. B. $Q = 3 L + K$ . Eine Arbeitseinheit ersetzt immer 3 Kapitaleinheiten, die GRTS ist überall 3.

Fixe Proportionen (Leontief): Die Inputs werden nur im festen Verhältnis gebraucht, z. B. $Q = \min (K, L / 2)$ bei einem Bagger, der genau 2 Personen braucht. Mit K = 3 und L = 6 ergibt das Q = 3. Mit L = 8 bleibt Q = 3, die zusätzlichen Leute bringen nichts.

Cobb-Douglas: $Q = A \cdot K^{α} L^{β}$ . Die Grenzprodukte sind $M P_{L} = β Q / L$ und $M P_{K} = α Q / K$ , die GRTS ist daher $MRTS = \frac{β K}{α L}$ .

Wie leicht lassen sich Inputs ersetzen?

Je stärker die Isoquante gekrümmt ist, desto schlechter sind die Inputs ersetzbar. Gerade Isoquanten bedeuten perfekte Austauschbarkeit, ein rechter Winkel bedeutet gar keine.

Prüfungsfalle: „L-förmige Isoquanten bedeuten hohe Substituierbarkeit" ist falsch, es ist genau umgekehrt: keine Substitution. Die GRTS ist bei vollkommenen Substituten konstant, nicht bei fixen Proportionen.

VertiefungDie drei Typen im Detail mit Beispielen

Vollkommene Substitute: Zwei Heizungen, die denselben Raum erwärmen: eine Gas-, eine Ölheizung. Ist eine Arbeitseinheit immer 3 Maschineneinheiten wert ( $Q = 3 L + K$ ), ist die Isoquante eine Gerade. Eine Firma wird dann meist nur eine der beiden Inputs verwenden, nämlich den, der pro Outputeinheit billiger ist. Mischungen sind nur bei genau gleichen Kosten pro Outputeinheit gleich gut.

Fixe Proportionen: Ein Bagger braucht genau eine Fahrerin. Eine zweite Person bringt nichts, ein zweiter Bagger ohne Fahrerin ebenfalls nicht. Die Isoquante hat einen rechten Winkel, die Ecke liegt dort, wo beide Inputs im richtigen Verhältnis eingesetzt werden. Alle Punkte rechts oder oberhalb der Ecke verschwenden einen Input. Wer Kosten minimiert, bleibt an der Ecke.

Cobb-Douglas im Detail: Aus $Q = A K^{α} L^{β}$ folgt durch Ableiten nach $L$ : $M P_{L} = β A K^{α} L^{β - 1} = β Q / L$ . Genauso $M P_{K} = α Q / K$ . Teilt man beide, kürzt sich $Q$ weg: $MRTS = \frac{β K}{α L}$ .

Rechenbeispiel Cobb-Douglas mit anderen Exponenten

$Q = K^{0,3} L^{0,7}$ mit $K = 6$ , $L = 3$ .

α = 0,3

β = 0,7

MRTS = \frac{0,7 \cdot 6}{0,3 \cdot 3} = \frac{4,2}{0,9} \approx 4,67

Ergebnis: Eine zusätzliche Arbeitseinheit ersetzt etwa 4,67 Kapitaleinheiten. Weil der Exponent von $L$ größer ist als der von $K$ , ist die Arbeit im Vergleich ergiebiger.

Ein Merkbild: Je mehr eine Isoquante einer Geraden ähnelt, desto leichter ersetzbar sind die Inputs. Je mehr sie einem rechten Winkel gleicht, desto eher braucht man beide im festen Verhältnis. Cobb-Douglas liegt dazwischen.

6 Skalenerträge ★★★

Hier ändern sich alle Inputs gemeinsam. Die Frage lautet: Wie reagiert der Output, wenn das ganze Unternehmen proportional größer wird? Das ist eine rein langfristige Betrachtung.

Die drei Fälle

Skalenerträge: Reaktion des maximal möglichen Outputs, wenn alle Inputs mit demselben Faktor s > 1 steigen, also von $(K, L)$ auf $(s K, s L)$ .

Art	Bedingung	Mögliche Ursache
Steigend	$F (s K, s L) > s \cdot F (K, L)$	Spezialisierung, Unteilbarkeiten
Konstant	$F (s K, s L) = s \cdot F (K, L)$	Anlage lässt sich einfach kopieren
Sinkend	$F (s K, s L) < s \cdot F (K, L)$	Koordinationsprobleme, Bürokratie

Zur Sprache: Bei steigenden Skalenerträgen steigt der Output überproportional, bei konstanten proportional, bei sinkenden unterproportional.

Warum es steigende Skalenerträge gibt

Spezialisierung und Arbeitsteilung: In größeren Betrieben kann jede Person eine Teilaufgabe perfektionieren.

Technische Unteilbarkeiten: Manche Anlagen gibt es nur in einer Mindestgröße. Ein halber Hochofen funktioniert nicht.

Technische Größeneffekte: Verdoppelt man alle Maße eines Wassertanks, steigt sein Fassungsvermögen auf das 8-Fache, die Blechfläche aber nur auf das 4-Fache.

Sinkende Skalenerträge entstehen eher durch Koordinations- und Kontrollprobleme. Konstante gibt es oft, wenn man einfach eine zweite identische Anlage danebenstellt.

Homogene Produktionsfunktionen

FormelHomogenität vom Grad γ

F (s K, s L) = s^{γ} \cdot F (K, L)

In Worten: Erhöht man alle Inputs mit dem Faktor s, steigt der Output mit dem Faktor s hoch γ. Ist γ größer als 1, wächst der Output überproportional.

s

= Faktor, um den alle Inputs steigen (z. B. 2 = Verdopplung)

γ

= Homogenitätsgrad

Beispiel ansehen

$Q = K^{0, 6} \cdot L^{0, 6}$ hat $γ = 0, 6 + 0, 6 = 1, 2$ .

Alles verdoppeln (s = 2): Output wächst um den Faktor $2^{1, 2} \approx$ 2,3. Das ist mehr als doppelt, also steigende Skalenerträge.

γ > 1

→ steigende Skalenerträge

γ = 1

→ konstante Skalenerträge

γ < 1

→ sinkende Skalenerträge

Bei Cobb-Douglas $Q = A \cdot K^{α} L^{β}$ ist $γ = α + β$ . Die Summe der Exponenten entscheidet.

Rechenbeispiel Drei Funktionen, drei Skalenerträge

Q = K^{0, 4} L^{0, 4}

γ = 0, 8 < 1

→ sinkend. Verdopplung:

2^{0, 8} \approx 1, 74

-facher Output.

Q = 5 K^{0, 5} L^{0, 5}

γ = 1

→ konstant. Verdopplung: Output genau 2-fach.

Q = 3 K L

γ = 2

→ steigend. Verdopplung:

3 \cdot 2 K \cdot 2 L = 12 K L = 4 \cdot (3 K L)

, also 4-facher Output.

Auch Leontief $Q = \min (K, L)$ und vollkommene Substitute $Q = 2 K + 3 L$ haben $γ = 1$ , also konstante Skalenerträge.

Prüfungsfalle: Der Faktor A in $Q = A K^{α} L^{β}$ ändert die Skalenerträge nicht. Es zählt nur die Summe der Exponenten.

VertiefungSkalenerträge Schritt für Schritt testen

Rezept: Ersetze $K$ durch $s K$ und $L$ durch $s L$ , klammere $s$ aus und vergleiche mit $s \cdot F (K, L)$ .

Rechenbeispiel Zwei weitere Funktionen

Funktion 1: $Q = K \cdot L^{2}$ . Mit $s K$ und $s L$ : $s K \cdot (s L)^{2} = s^{3} \cdot K L^{2}$ . Also $γ = 3$ : steigende Skalenerträge.

Funktion 2: $Q = \sqrt{K} + \sqrt{L}$ . Mit $s K$ und $s L$ : $\sqrt{s} (\sqrt{K} + \sqrt{L})$ . Also $γ = 0,5$ : sinkende Skalenerträge. Verdopplung bringt nur das $2^{0,5} \approx 1,41$ -Fache.

Wenn die Funktion nicht homogen ist: Dann lässt sich $s$ nicht ausklammern. Hier setzt du Zahlen ein. Beispiel $Q = 10 \sqrt{K L} + 50$ : Bei $K = L = 4$ ist $Q = 90$ . Bei $K = L = 8$ ist $Q = 130$ . Das Doppelte von 90 wäre 180: Der Output wächst unterproportional, es liegen sinkende Skalenerträge vor. Die feste Konstante 50 wird nicht mitverdoppelt.

Typischer Fehler: Nur einen Input zu verdoppeln. Skalenerträge verlangen, dass alle Inputs mit demselben Faktor steigen.

7 Skalenelastizität und Abgrenzung zum Ertragsgesetz ★★★

Zwei Begriffe, die oft verwechselt werden: Abnehmender Grenzertrag betrifft einen steigenden Input, Skalenerträge betreffen alle gemeinsam.

Ertragsgesetz und Skalenerträge unterscheiden

Merkmal	Abnehmender Grenzertrag	Skalenerträge
Frist	kurz	lang
Inputs	einer steigt, die anderen fix	alle steigen proportional
Frage	Wie ändert sich das MP?	Wie ändert sich Q insgesamt?

Prüfungsfalle: Abnehmender Grenzertrag ist nicht dasselbe wie abnehmende Skalenerträge. Eine Funktion kann beides gleichzeitig haben, auch steigende Skalenerträge mit abnehmendem Grenzprodukt.

Rechenbeispiel Steigende Skalenerträge trotz abnehmendem Grenzertrag

$Q = K^{0, 3} L^{0, 9}$ : Die Exponentensumme 1,2 ergibt steigende Skalenerträge.

Der Exponent von L ist aber kleiner als 1. Mit fixem K steigt Q nur mit $L^{0, 9}$ , also unterproportional. Das Grenzprodukt der Arbeit sinkt daher bei steigendem L.

Das ist kein Widerspruch: Beim Ertragsgesetz steigt nur ein Input, bei den Skalenerträgen alle.

VertiefungDieselbe Funktion, zwei Blickwinkel

Die Funktion $Q = \sqrt{K \cdot L}$ zeigt beide Effekte nebeneinander.

Rechenbeispiel Ertragsgesetz oder Skalenerträge?

Blick 1: Nur L steigt, $K = 4$ bleibt fix. Dann ist $Q = 2 \sqrt{L}$ .

L	Q	Zuwachs
1	2	–
4	4	+2 für 3 weitere Personen
9	6	+2 für 5 weitere Personen
16	8	+2 für 7 weitere Personen

Jeder weitere Output von +2 verlangt immer mehr zusätzliche Arbeit: abnehmender Grenzertrag.

Blick 2: Beide Inputs steigen gleichzeitig. (K, L) = (1, 1) liefert 1, (2, 2) liefert 2, (4, 4) liefert 4.

Ergebnis: Verdoppelt man beides, verdoppelt sich der Output: konstante Skalenerträge. Dieselbe Funktion hat also fallenden Grenzertrag und konstante Skalenerträge.

Skalenelastizität (Vertiefung)

Bei Funktionen, die nicht homogen sind, kann die Art der Skalenerträge von der Betriebsgröße abhängen. Dann misst man sie lokal mit der Skalenelastizität.

FormelSkalenelastizität

ε_{S} = \frac{M P_{K} \cdot K + M P_{L} \cdot L}{Q}

In Worten: Um wie viel Prozent steigt der Output, wenn alle Inputs um 1 % steigen? Über 1 heißt steigende, genau 1 konstante, unter 1 sinkende Skalenerträge.

ε_{S}

= Skalenelastizität

Beispiel ansehen

$Q = K^{0, 3} L^{0, 9}$ : Es gilt $M P_{K} \cdot K = 0, 3 Q$ und $M P_{L} \cdot L = 0, 9 Q$ .

$ε_{S} = (0, 3 Q + 0, 9 Q) / Q =$ 1,2 → steigende Skalenerträge.

Bei homogenen Funktionen ist $ε_{S}$ überall gleich $γ$ . Bei anderen Funktionen kann sie sich mit der Betriebsgröße ändern.

Checkliste: Das musst du können

Ich kann die Produktionsfunktion erklären und kurze von langer Frist abgrenzen.

Ich kann technische und ökonomische Effizienz unterscheiden.

Ich kann

A P_{L}

und

M P_{L}

berechnen, auch aus einer Funktion.

Ich kann das Gesetz vom abnehmenden Grenzertrag begründen.

Ich kann erklären, warum

M P_{L}

das

A P_{L}

im AP-Maximum schneidet.

Ich kann Isoquanten zeichnen und ihre Eigenschaften nennen.

Ich kann die GRTS als

M P_{L} / M P_{K}

berechnen und ihre Abnahme begründen.

Ich kann vollkommene Substitute, Leontief und Cobb-Douglas unterscheiden.

Ich kann die Skalenerträge aus den Exponenten einer Cobb-Douglas-Funktion bestimmen.

Ich kann Ertragsgesetz und Skalenerträge sauber trennen.

Fertig gelesen? Teste, ob es sitzt.

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