Gewinnmaximierung & Wettbewerb

Je kleiner der Marktanteil einer Firma, desto elastischer ist die Nachfrage, die sie selbst spürt. Vereinfacht (die anderen Anbieter ändern ihre Menge nicht) gilt:

Herleitung: Die Firma verkauft $Q_F=s\cdot Q_M$. Ändert sich die Marktmenge bei einer Preisänderung um $\mathrm{\Delta }{Q}_M$ und bleiben die anderen Anbieter gleich, ist das auch die Mengenänderung der Firma. Bezogen auf die viel kleinere Firmenmenge ist die prozentuale Änderung $1\mathrm{/}s$-mal so groß wie am Gesamtmarkt.

Jede Annahme sorgt für eine bestimmte Eigenschaft. Fällt sie weg, verändert sich auch das Ergebnis:

Der vollkommene Wettbewerb ist ein Idealfall. Märkte für Rohstoffe, Agrarprodukte oder Aktien kommen ihm nahe. Er ist trotzdem nützlich, weil man an ihm abliest, was Marktmacht verändert.

Eine Tischlerei verkauft Stühle zum Marktpreis von 40 €. Die Zusatzkosten des jeweils nächsten Stuhls steigen:

Der Gewinn wächst bis zum 4. Stuhl (insgesamt $30+26+20+12=88$ vor Abzug der Fixkosten). Beim 5. Stuhl ändert sich nichts mehr: Hier ist $P=MC$, man ist indifferent. Der 6. Stuhl würde den Gewinn schmälern.

Das ist die Idee hinter der Ableitung: $d\pi \mathrm{/}dQ$ ist der Zusatzgewinn des nächsten Stücks, und im Optimum ist er null.

Ein Betrieb hat $VC=q^3-6q^2+14q$ und $FC=20$. Damit ist $MC=3q^2-12q+14$. Der Marktpreis sei $P=5$.

Schnittpunkte mit der Preislinie: $3q^2-12q+14=5$ → $q^2-4q+3=0$ → $q=1$ oder $q=3$.

Zweite Bedingung: Die Steigung der Grenzkosten ist $6q-12$.

Probe über den Gewinn $\pi (q)=5q-VC-20$:

Bei $q=1$ ist der Gewinn lokal am kleinsten, bei $q=3$ lokal am größten. Hier ist der Maximalgewinn −20, also genau der Verlust bei Stilllegung. Das passt, denn $P=5$ ist zugleich das AVC-Minimum (Abschnitt 3).

Abstand der Kurven: Im Mengen-Erlös-Diagramm ist $R=P\cdot Q$ eine Gerade durch den Ursprung mit Steigung P. Die Gesamtkostenkurve startet bei FC. Der Gewinn ist der senkrechte Abstand zwischen beiden. Er ist am größten, wo die Kostenkurve dieselbe Steigung hat wie die Erlösgerade, also $MC=P$.

Konditorei mit $TC=40+4q+q^2$ und $P=20$:

Der Gewinn ist bei $q=8$ am größten. Bei etwa 3,1 und 12,9 Stück liegt die Gewinnschwelle (Break-even): Dazwischen verdient die Firma, außerhalb nicht.

Deckungsbeitrag: Zerlegt man $TC=FC+VC$, gilt

$\pi =(P-AVC)\cdot Q-FC$.

Der Ausdruck $(P-AVC)\cdot Q$ ist der Deckungsbeitrag: Er zeigt, was nach Abzug der variablen Kosten zur Deckung der Fixkosten übrig bleibt. Bei $q=8$: $AVC=4+8=12$, also $(20-12)\cdot 8=64$ und $\pi =64-40=24$. Diese Darstellung braucht man im nächsten Abschnitt für die Stilllegungsregel.

Vergleiche die beiden Möglichkeiten:

Produzieren ist besser, wenn $(P-AVC)\cdot q^{\ast }-FC\ge -FC$, also wenn $(P-AVC)\cdot q^{\ast }\ge 0$. Das gilt genau dann, wenn P ≥ AVC ist.

Die Fixkosten kürzen sich auf beiden Seiten weg. Deshalb spielen sie für die Stilllegung keine Rolle. Die Mengenentscheidung ($P=MC$) ist eine Grenzbetrachtung, die Stilllegungsentscheidung ein Vergleich mit dem Durchschnitt.

Eine Eisdiele zahlt 3.000 € Pacht pro Monat, egal ob geöffnet oder nicht (Fixkosten).

In beiden Fällen lohnt sich das Geschäft insgesamt nicht, denn die Pacht ist nicht gedeckt. Entscheidend ist aber nur, ob der Umsatz die vermeidbaren Kosten übertrifft.

Quasi-fixe Kosten (etwa Strom für die Kühlung) entfallen bei Schließung. Für die Entscheidung gehören sie daher zu den vermeidbaren Kosten.

Es gibt zwei Gründe, bei P < ATC nicht sofort zu schließen:

Langfristig gilt das nicht: Bleibt der Preis dauerhaft unter der ATC, werden Verträge nicht verlängert, und die Firma scheidet aus (Abschnitt 6).

Ein Betrieb hat $VC=q^3-6q^2+14q$, $FC=20$. Dann ist $MC=3q^2-12q+14$ und das AVC-Minimum liegt bei $q=3$ mit $AV{C}_{\min }=5$.

Löst man $P=MC$ nach q auf (steigender Ast): $q=2+\sqrt{(P-2)\mathrm{/}3}$.

Beim Preis von knapp unter 5 bietet die Firma nichts an, bei 5 sofort 3 Stück: Die Angebotskurve springt vom Nullpunkt auf den MC-Ast. Der fallende Teil der MC links von $q=3$ wird nie gewählt (er verletzt die zweite Bedingung), und unter 5 € lohnt sich die Produktion nicht. Bei genau $P=5$ ist die Firma zwischen 0 und 3 Stück indifferent.

Zwischen $P=5$ und $P\approx \mathrm{10,9}$ (ATC-Minimum) bietet die Firma an, macht aber Verlust. Erst darüber verdient sie (Abschnitt 3, drei Preisbereiche).

Zwei Konditoreien mit unterschiedlichen Grenzkosten:

Das Marktangebot hat daher zwei Teile (Knick bei $P=8$):

Ab 8 gilt $Q=(P-4)\mathrm{/}2+(P-8)\mathrm{/}2=P-6$. Die Marktangebotskurve wird bei $P=8$ flacher, weil Firma B dazukommt.

Bei Nachfrage $Q=20-P$: $20-P=P-6$ → $P=13$, $Q=7$. Firma A liefert $(13-4)\mathrm{/}2=\mathrm{4,5}$, Firma B $(13-8)\mathrm{/}2=\mathrm{2,5}$. Die Summe ist 7.

Am Großhandelsmarkt für Strom ergibt sich das Angebot als Treppe: Die Kraftwerke werden nach ihren Grenzkosten gereiht, vom billigsten zum teuersten.

Eine vereinfachte Zahlenreihe (€ pro MWh, Leistung in MW):

Dieser Preis gilt für alle. Der Windpark hat sich in beiden Fällen nicht verändert, verdient aber bei 110 viel mehr (inframarginale Rente: $(110-5)\cdot 300$ statt $(60-5)\cdot 300$). Steigt der Gaspreis, steigt auch der Strompreis, selbst wenn der meiste Strom gar nicht aus Gas kommt.

Nur Kosten, die an der Menge hängen, verschieben die MC und damit das Angebot.

Ein fixer Zuschlag pro Stück wirkt wie eine Mengensteuer. Eine Subvention pro Stück ist das Spiegelbild: Sie senkt die Grenzkosten und erhöht das Angebot.

Wir nehmen die 12 Konditoreien: Marktangebot $Q=6P-24$, Marktnachfrage $Q=96-2P$. Ohne Steuer: $P=15$, $Q=66$.

Der Staat erhebt eine Mengensteuer von $t=2$ pro Stück. Die Firma behält nur $P-2$, also bietet sie an: $Q=6(P-2)-24=6P-36$.

Die Seite mit der geringeren Ausweichmöglichkeit (hier die Nachfrage, die weniger stark auf Preise reagiert als das Angebot) trägt mehr. Die Menge sinkt von 66 auf 63. Diese Mengenänderung ist der Wohlfahrtsverlust der Steuer: $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3=3$.

Langfristige Kosten einer Firma: $C=100+q^2$ (die 100 sind Kosten, die auch langfristig anfallen, etwa Zulassung und Grundausstattung). Dann ist $LMC=2q$ und $LAC=100\mathrm{/}q+q$. Das LAC-Minimum liegt bei $q=10$ mit $LA{C}_{\min }=20$.

Zwei Bedingungen kommen zusammen:

Beide gleichzeitig ergeben $LMC=LAC$. Nach der Schnittpunkt-Regel (Kapitel Kosten) schneidet die Grenzkostenkurve die Durchschnittskosten nur im Minimum. Also muss die Firma genau dort produzieren: $P=LMC=LA{C}_{\min }$.

Der Wettbewerb drückt den Preis damit bis auf das Niveau der niedrigsten möglichen Stückkosten. Deshalb gilt er als effizient: Kein Gut kann billiger hergestellt werden.

Die Nullgewinn-Aussage steht und fällt mit der Annahme, dass jede:r eintreten kann. Gibt es Barrieren, bleibt ein Gewinn bestehen:

In solchen Fällen kann der Preis dauerhaft über $LA{C}_{\min }$ liegen. Das ist der Ausgangspunkt für Marktmacht und Monopol.

Jede Firma hat $C=100+q^2$ (Abschnitt 6). Ihr Angebot ist $q=P\mathrm{/}2$. Anfangs gibt es $N=60$ Firmen und die Nachfrage $Q_D=1200-30P$.

Ausgangsgleichgewicht: Marktangebot $S=60\cdot P\mathrm{/}2=30P$. Aus $30P=1200-30P$ folgt $P=20$, $Q=600$, je Firma 10 Stück. Die Firmen verdienen null.

Nachfrage steigt auf $Q_D=1500-30P$:

Kurzfristig ist der Preis von 20 auf 25 gestiegen, langfristig fällt er wieder zurück. Die Menge hat sich dauerhaft erhöht (600 → 900).

Steigende Kosten: Wächst die Weinbranche, wird gutes Land knapper und teurer. Jede Firma zahlt mehr Pacht, ihre $LA{C}_{\min }$ steigt.

Die langfristige Angebotskurve steigt also, obwohl Ein- und Austritt frei sind. Im Gegensatz zum Fall konstanter Kosten reagiert hier auch der Preis auf die Branchengröße.

Fallende Kosten: Ballt sich eine Branche in einer Region (etwa Softwarefirmen in einer Stadt), entstehen spezialisierte Zulieferer, ein gemeinsamer Arbeitsmarkt und Wissensaustausch. Dann sinkt $LA{C}_{\min }$ mit der Branchengröße. Die Vorteile entstehen hier für die Branche, nicht für die einzelne Firma. Das ist selten.

Drei Betriebe haben Mindeststückkosten von 16, 18 und 20 €. Der Marktpreis betrage 20 € (der Betrieb mit den höchsten Kosten ist marginal), und jeder liefert 10 Stück.

Ein neuer Betrieb mit 22 € Mindestkosten kommt nicht in den Markt, weil er unter dem Preis anbieten müsste. Die Gewinne von A und B bleiben bestehen. Dahinter steckt oft ein knapper Input (guter Standort, besondere Fähigkeiten), der nicht beliebig vermehrbar ist. Müsste A für seinen Standort Pacht zahlen, die genau dem Vorteil entspricht, wäre der Gewinn wieder bei null: Die Pacht ist dann ein Kostenposten.

Die Kurve des Wertgrenzprodukts zeigt zu jedem Lohn, wie viel Arbeit die Firma nachfragt. Sie fällt, weil $M{P}_L$ sinkt.

Bei $M{P}_L=20-2L$:

So hängt die Arbeitsnachfrage vom Lohn und vom Produktpreis ab.

Kapital ist fix, die Produktion ist $Q=10\sqrt{L}$. Preis $P=2$, Lohn $\omega =5$.

Weg 1: über die Inputwahl. $M{P}_L=5\mathrm{/}\sqrt{L}$. Bedingung: $2\cdot 5\mathrm{/}\sqrt{L}=5$ → $\sqrt{L}=2$ → $L=4$ → $Q=10\cdot 2=$ 20.

Weg 2: über die Kosten. Aus $Q=10\sqrt{L}$ folgt $L=Q^2\mathrm{/}100$. Variable Kosten: $VC=5L=Q^2\mathrm{/}20$. Grenzkosten: $MC=Q\mathrm{/}10$. Bedingung $P=MC$: $2=Q\mathrm{/}10$ → $Q=$ 20.

Beide Wege liefern 20 Stück. Der Arbeitseinsatz $L=4$ ist zugleich die kostenminimale Arbeitsmenge für diesen Output.

Zahlungsbereitschaft (Nachfrage): $P=50-Q$. Grenzkosten (Angebot): $MC=10+Q$.

Gleichgewicht: $50-Q=10+Q$ → $Q=20$, $P=30$. Bei $Q=0$ beträgt der Abstand zwischen den Kurven 40, bei $Q=20$ null. Die Fläche ist ein Dreieck: $\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 40=$ 400.

Zu wenig (Q = 10, etwa durch einen Höchstpreis von 20): Die Einheiten 11 bis 20 würden Gewinn bringen, werden aber nicht hergestellt. Verlust: $\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 20=100$.

Zu viel (Q = 30): Die Einheiten 21 bis 30 kosten mehr, als sie wert sind. Auch hier sind es 100.

Mengensteuer als Beispiel: Eine Steuer von 10 verschiebt die Angebotskurve auf $20+Q$. Die neue Menge: $50-Q=20+Q$ → $Q=15$. Der Wohlfahrtsverlust ist $\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10=25$. Die Einnahmen des Staates ($10\cdot 15=150$) bleiben der Gesellschaft erhalten, sie sind kein Verlust.

Allokative Effizienz sagt nur etwas über die Gesamtgröße der Wohlfahrt, nicht über ihre Verteilung.

Die Aussage „der Markt ist effizient" bedeutet deshalb nicht „der Markt ist fair". Sie gilt außerdem nur, wenn keine der vier Ursachen von Marktversagen vorliegt.